Clasificación de ángulos, triángulos y funciones trigonométricas
La trigonometría fue inventada por la necesidad de medir ángulos y lados de triángulos. Los griegos eran los más interesados en estas mediciones, de ellos es de donde encontramos el significado de la palabra trigonometría, de la unión de dos palabras griegas, trigonon (triángulo) y metría (medición). Es la parte de la matemática, o más específicamente de la geometría, que se ocupa del cálculo de triángulos, comprendiendo sus seis elementos, los tres lados y los tres ángulos. Se parte de al menos tres elementos del mismo, siendo indefectiblemente, uno de ellos, un lado del triángulo.
Definición:
Un ángulo es cada una de las 4 regiones en que queda dividido el plano al dibujar en él 2 rectas que se cortan.
Recogemos aquí la nomenclatura para algunos de los tipos de ángulos más usuales y vamos a hacerlo de una manera muy parecida a la realizada por los matemáticos griegos, concretamente a la recogida por Euclides en torno al año 300 a.C. (antes de Cristo):
* ángulo recto: cuando dos líneas que se cortan forman 4 ángulos iguales, cada uno de ellos es un ángulo recto y a ambas rectas se les llama perpendiculares.
* Ángulo llano: fijamos un punto cualquiera sobre una recta. Cada una de las regiones que queda a ambos lados de la misma es un ángulo llano. En consecuencia, un ángulo llano equivale a dos rectos.
* Ángulo agudo: aquel que es menor que un recto.
* Ángulo obtuso: aquel que es mayor que un recto.
* dos ángulos se dicen complementarios si juntos suman un recto.
* dos ángulos se dicen suplementarios si juntos suman dos rectos (un llano)
Ángulos Iguales
Definición:
Diremos que dos ángulos son congruentes si somos capaces de, moviendo uno de ellos sin deformarlo, podemos superponerlo hasta hacerlo coincidir con el otro.
Hay algunas situaciones geométricas habituales que nos dan ángulos iguales:
* Ángulos opuestos por el vértice: los dos ángulos que se oponen por el vértice formados al cortarse dos rectas, son iguales.
* Si dos rectas paralelas r y r' las cortamos con una recta perpendicular s, los ocho ángulos que se forman son iguales porque son rectos.
* Si dos rectas paralelas r y r' las cortamos con una recta secante s:
** Los cuatro ángulos agudos que se forman son iguales.
** Los cuatro ángulos obtusos que se forman son iguales.
Los ángulos de un triángulo
Un resultado conocido por todos y que es básico en el desarrollo de los problemas trigonométricos es:
* La suma de los ángulos de un triangulo es igual a dos rectos, es decir, un ángulo llano (180º)
Su demostración es muy sencilla y no necesitamos una unidad de medida para conseguirlo, es decir, vemos directamente que la suma de los ángulos del triángulo es un llano. La referencia a que suman 180º la hacemos por ser el grado sexagesimal la unidad más habitual para medirlos.
Basta prolongar un lado (por ejemplo, el lado AC), trazar la recta paralela al lado AB por el vértice C y observar los ángulos que se forman en este último vértice (C).
En un triángulo, la suma de dos cualesquiera de los lados debe ser mayor que el tercero
La demostración gráfica de esta propiedad es muy simple. Para cada uno de los lados que llamaremos lado base, efectuemos la siguiente operación:
* Por cada uno de sus extremos tracemos la circunferencia de centro ese extremo y radio el otro lado que parte de él.
* Si ambas circunferencias no se cortan, la suma de los otros dos lados no alcanza el tamaño del lado base y no hay triángulo.
* Si ambas circunferencias son tangentes, su punto de tangencia estará sobre el lado base y la suma de los otros dos lados será igual al lado base; no habrá triángulo
* Si ambas circunferencias se cortan habrá triángulo pero esto sólo sucede si la suma de los otros dos lados es mayor que el lado base.
Relación entre lados del triángulo
Clasificación de los Triángulos según sus ángulos
Definimos:
* Triangulo rectángulo: aquel que tiene un ángulo recto. Como los ángulos de un triangulo suman dos rectos, solo uno de los ángulos puede ser recto y, los otros dos deben ser menores que un recto, agudos.
* Triangulo obtusángulo: aquel que tiene un ángulo obtuso. Como los ángulos de un triangulo suman dos rectos, solo uno de los ángulos puede serlo y, los otros dos deben ser menores que un recto, agudos.
* triangulo acutángulo: aquel que tiene los tres ángulos agudos.
Clasificación de los Triángulos según sus lados
Definimos:
* triangulo escaleno: aquel que tiene sus tres lados de distinta medida.
* Triangulo isósceles: aquel que tiene 2 lados de igual medida.
* Triangulo equilátero: aquel que tiene los tres lados de igual medida.
Propiedades de las funciones trigonométricas
1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sin = op/hip
2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
cos = ady/hip
3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
tan = op/ady
4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
csc = hip/op
5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
sec = hip/ady
6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.
cot = ady/op
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